Matematikçiler herhangi bir bel ölçüsüne sahip bir Steiner üçlü sistemi oluşturmuşlar ve böylece 50 yıl sonra Erdös sanısını ispatlamışlardır.
Klosterneuburg (Avusturya). Matematikçi Paul Erdös, sayı teorisi ve kombinatorik alanındaki sayısız varsayım ve teoreminden dolayı 20. yüzyılın en önemli matematikçilerinden biri olarak kabul edilir. Diğer şeylerin yanı sıra Erdös, grafiklerin geometrik düzeni üzerinde çalıştı. Bu kombinatoryal tasarımlardan bazıları yalnızca soyut bağlamlarla ilgili değildir, aynı zamanda bilgisayar kodu ve deneyler için de kullanılır.
Bu, örneğin, kısıtlayıcı koşullar altında üç olası kombinasyon sayısını tanımlayan sözde Steiner üçlü sistemini içerir. Buna bir örnek, üçlü gruplar oluşturmaları istenen yedi kişiden oluşur. Bu durumda, her kişi birkaç üçlüye ait olabilir, ancak her çift yalnızca üçlü bir grubun parçası olabilir. Bu koşul az kişi ve yüksek sayıda üçlü ile karşılanırsa matematikte büyük bir bel ölçüsünden söz edilir.
Üçlü sistemler için kanıt
Erös’e göre bu tür üçlü sistemler mümkündür. Ancak şimdiye kadar matematik, üçlü sistemleri en fazla altı kişiyle ispatlayabilmiştir. Avusturya Bilim ve Teknoloji Enstitüsü’nden (ISTA) Matthew Kwan, “Bu tür problemlerin kanıtlanması genellikle son derece zordur ve belirli bir konfigürasyon için var olan üçlülerin sayısını kesin olarak karakterize etmek neredeyse bizim ulaşamayacağımız gibi görünüyor” diye açıklıyor.
Birleşik yöntemlerle büyük üçlü sistem
Ön baskı sunucusu arXiv’deki bir yayına göre, ISTA’daki bilim adamları artık her bel ölçüsüne sahip bir Steiner üçlü sistemi kanıtlamayı başardılar. “Varlıklarını kanıtlamak için cebirden ve olasılık teorisinden, olasılık biliminden uzak durmak gerekir. Bunu yapmayı başardık,” diye açıklıyor Kwan.
Bunu yapmak için, bilim adamları olasılıksal kombinasyonlara dayalı çeşitli matematiksel yöntemleri birleştirdiler. Kwan, “Ayrıca iki yeni yöntem kullandık: önceki adımlarda rastgeleliği izlememizi sağlayan retrospektif analiz ve retrospektif analizin tüm zorluklarını ortadan kaldıran bir inceltme türü olan seyrekleştirme,” diyor Kwan.
Erdös varsayımı kanıtlandı
50 yıl önce ortaya atılan Erdös varsayımı böylece kanıtlanmış oldu. Yazarlar, “Diğer şeylerin yanı sıra, belirli bir köşe kümesi için r-seyrek Steiner üçlü sistemlerinin sayısı için alt sınırın nerede olduğunu kanıtlayabiliriz” diye açıklıyor. Bu, yedi köşeyle, çift çiftler olmadan tam olarak yedi üçlü oluşturulabileceğini kanıtlıyor.
Bu başarı, matematiğin farklı alt disiplinlerinden yöntemlerin uygulanmasıyla mümkün olmuştur. “Felsefem: Farklı şeyler üzerinde çalışmaya çalışıyorum. Tamamen tek bir alana odaklanmak cazip gelebilir, ancak bir ömür boyu farklı problemlerle uğraşırsanız, diğer alanlarda yeni şeyler keşfetmenize yardımcı olacak teknikleri bulacaksınız” diyor Kwan.